Оно является частным случаем уравнения Гельмгольца. Может рассматриваться в трехмерном (1), двумерном (2), одномерном и n – мерном пространствах:

Оператор называется оператором Лапласа (Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции.).

Решение уравнения Лапласа

Решениями уравнения Лапласа являются гармонические функции.

Уравнение Лапласа относится к эллиптическим уравнениям. Неоднородное уравнение Лапласа становится уравнением Пуассона.

Каждое решение уравнения Лапласа в ограниченной области G однозначно выделяется краевыми условиями, накладываемыми на поведение решения (или его производных) на границе области G. Если решение отыскивается во всём пространстве , краевые условия сводятся к предписанию некоторой асимптотики для f при . Задача о нахождении таких решений называется краевой задачей. Чаще всего встречаются задача Дирихле, когда на границе задано значение самой функции f, и задача Немана, когда задано значение f по нормали к границе.

Уравнение Лапласа в сферических, полярных и цилиндрических координатах

Уравнение Лапласа можно записать не только в декартовых координатах.

В сферических координатах ( уравнение Лапласа имеет следующий вид:

В полярных координатах ( система координат уравнение имеет вид:

В цилиндрических координатах ( уравнение имеет вид:

К уравнению Лапласа приводят многие задачи физики и механики, в которых физическая величина является функцией только координат точки. Так, уравнение Лапласа описывает потенциал в области, не содержащей тяготеющих масс, потенциал электростатического поля – в области, не содержащей зарядов, температуру при стационарных процессах и т. д. Большое количество инженерных задач, связанных, в частности, с медленным стационарным обтеканием корпуса корабля, стационарной фильтрацией подземных вод, возникновением поля вокруг электромагнита, а также стационарного электрического поля в окрестности фарфорового изолятора или заглубленного в землю электрического кабеля переменного поперечного сечения, сводится к решению трехмерных уравнений Лапласа или Пуассона. Большое значение оператор Лапласа играет в квантовой механике.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Найдите поле между двумя коаксиальными цилиндрами с радиусами и , разность потенциалов между которыми равна
Решение	Запишем уравнение Лапласа в цилиндрических координатах с учетом аксиальной симметрии: Оно имеет решение +B. Выберем нулевой потенциал на наружном цилиндре, найдем, получим: Следовательно Получим: В результате имеем:
Ответ	Поле между двумя коаксиальными цилиндрами задается функцией

ПРИМЕР 2

Задание	Исследовать устойчивость равновесия положительно заряженной частицы в электрическом поле (теорема Ирншоу).
Решение	Поместим начало координат в положение равновесия частицы. При этом можно считать, что потенциал представляется в виде:

Ты - не раб!
Закрытый образовательный курс для детей элиты: "Истинное обустройство мира".
http://noslave.org

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции : texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta=\operatorname{div}\,\operatorname{grad} , таким образом, значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ \operatorname{grad}F в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta=\nabla\cdot\nabla=\nabla^2 , то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя. Оператор Лапласа симметричен .

Другое определение оператора Лапласа

Оператор Лапласа является естественным обобщением на функции нескольких переменных обычной второй производной функции одной переменной. В самом деле, если функция Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ f (x) имеет в окрестности точки Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ x_0 непрерывную вторую производную Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ f""(x) , то, как это следует из формулы Тейлора

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ f(x_0+r)=f(x_0)+rf"(x_0)+\frac{r^2}{2}f""(x_0)+o(r^2), при Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc , Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ f(x_0-r)=f(x_0)-rf"(x_0)+\frac{r^2}{2}f""(x_0)+o(r^2), при Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): r\to 0,

вторая производная есть предел

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ f""(x_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2}{r^2} \left\{ \frac{f(x_0+r)+f(x_0-r)}{2}-f(x_0) \right\}.

Если, переходя к функции Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc от Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc переменных, поступить таким же образом, то есть для заданной точки Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): M_0(x_1^0,x_2^0, ... ,x_k^0) рассматривать её Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ k -мерную шаровую окрестность Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ Q_r радиуса Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ r и разность между средним арифметическим

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ \frac{1}{\sigma(S_r)}\int\limits_{S_r}Fd\sigma

функции Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ F на границе Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ S_r такой окрестности с площадью границы Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ \sigma(S_r) и значением Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ F(M_0) в центре этой окрестности Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc , то в случае непрерывности вторых частных производных функции Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ F в окрестности точки Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ M_0 значение лапласиана Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ \Delta F в этой точке есть предел

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ \Delta F(M_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2k}{r^2} \left\{\frac{1}{\sigma(S_r)}\int\limits_{S_r}F(M)d\sigma -F(M_0) \right\}.

Одновременно с предыдущим представлением для оператора Лапласа функции Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ F , имеющей непрерывные вторые производные, справедлива формула

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ \Delta F(M_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2(k+2)}{r^2} \left\{\frac{1}{\omega(Q_r)}\int\limits_{Q_r}F(M)d\omega -F(M_0) \right\}, где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ \omega(Q_r) - объём окрестности Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ Q_r.

Эта формула выражает непосредственную связь лапласиана функции с её объёмным средним в окрестности данной точки.

Доказательство этих формул можно найти, например, в .

Вышеизложенные пределы, во всех случаях, когда они существуют, могут служить определением оператора Лапласа функции Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ F. Такое определение предпочтительнее обычного определения лапласиана, предполагающего существование вторых производных рассматриваемых функций, и совпадает с обычным определением в случае непрерывности этих производных.

Выражения для оператора Лапласа в различных криволинейных системах координат

В произвольных ортогональных криволинейных координатах в трёхмерном пространстве Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): q_1,\ q_2,\ q_3 :

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f (q_1,\ q_2,\ q_3) = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,f(q_1,\ q_2,\ q_3) = Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): =\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left(\frac{H_2H_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left(\frac{H_1H_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \right) + \frac{\partial}{\partial q_3}\left(\frac{H_1H_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \right)\right], где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): H_i\ - коэффициенты Ламе .

Цилиндрические координаты

В цилиндрических координатах вне прямой Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ r=0 :

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left(r {\partial f \over \partial r} \right) + {\partial^2f \over \partial z^2} + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}

Сферические координаты

В сферических координатах вне начала отсчёта (в трёхмерном пространстве):

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left(r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2\sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2} Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f = {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2} \left(rf \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}.

В случае если Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ f=f(r) в n -мерном пространстве:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f = {d^2 f\over dr^2} + {n-1 \over r } {df\over dr}.

Параболические координаты

В параболических координатах (в трёхмерном пространстве) вне начала отсчёта:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f= \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} \left[ \frac{1}{\sigma} \frac{\partial }{\partial \sigma} \left(\sigma \frac{\partial f}{\partial \sigma} \right) + \frac{1}{\tau} \frac{\partial }{\partial \tau} \left(\tau \frac{\partial f}{\partial \tau} \right)\right] + \frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}

Цилиндрические параболические координаты

В координатах параболического цилиндра вне начала отсчёта:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta F(u,v,z) = \frac{1}{c^2(u^2+v^2)} \left[ \frac{\partial^2 F }{\partial u^2}+ \frac{\partial^2 F }{\partial v^2}\right] + \frac{\partial^2 F }{\partial z^2}.

Общие криволинейные координаты и римановы пространства

Пусть на гладком многообразии Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc задана локальная система координат и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): g_{ij} - риманов метрический тензор на Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): X , то есть метрика имеет вид

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): ds^2 =\sum^n_{i,j=1}g_{ij} dx^idx^j .

Обозначим через Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): g^{ij} элементы матрицы Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): (g_{ij})^{-1} и

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): g = \operatorname{det} g_{ij} = (\operatorname{det} g^{ij})^{-1} .

Дивергенция векторного поля Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): F , заданного координатами Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): F^i (и представляющего дифференциальный оператор первого порядка Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \sum_i F^i\frac{\partial}{\partial x^i} ) на многообразии X вычисляется по формуле

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \operatorname{div} F = \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}(\sqrt{g}F^i) ,

а компоненты градиента функции f - по формуле

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): (\nabla f)^j =\sum^n_{i=1}g^{ij} \frac{\partial f}{\partial x^i}.

Оператор Лапласа - Бельтрами на Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): X :

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f = \operatorname{div} (\nabla f)= \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}\Big(\sqrt{g} \sum^n_{k=1}g^{ik} \frac{\partial f}{\partial x^k}\Big).

Значение Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Delta f является скаляром, то есть не изменяется при преобразовании координат.

Применение

С помощью данного оператора удобно записывать уравнения Лапласа , Пуассона и волновое уравнение . В физике оператор Лапласа применим в электростатике и электродинамике, квантовой механике , во многих уравнениях физики сплошных сред , а также при изучении равновесия мембран, плёнок или поверхностей раздела фаз с поверхностным натяжением (см. Лапласово давление), в стационарных задачах диффузии и теплопроводности, которые сводятся, в непрерывном пределе, к обычным уравнениям Лапласа или Пуассона или к некоторым их обобщениям.

Вариации и обобщения

• Оператор Д’Аламбера - обобщение оператора Лапласа для гиперболических уравнений . Включает в себя вторую производную по времени.
• Векторный оператор Лапласа - обобщение оператора Лапласа на случай векторного аргумента.

См. также

Напишите отзыв о статье "Оператор Лапласа"

Литература

Ссылки

Просмотр этого шаблона Дифференциальное исчисление Основное Частные виды Дифференциальные операторы (в различных координатах) Первого порядка Обычное скоростное Стеллино «самоочухивание» на этот раз почему-то никак не срабатывало... Видимо, было слишком больно терять дорогих её сердцу друзей, особенно, зная, что, как бы она по ним позже не скучала, уже не увидит их более нигде и никогда... Это была не обычная телесная смерть, когда мы все получаем великий шанс – воплощаться снова. Это умерла их душа... И Стелла знала, что ни отважная девочка Мария, ни «вечный воин» Светило, ни даже страшненький, добрый Дин, не воплотятся уже никогда, пожертвовав своей вечной жизнью для других, возможно и очень хороших, но совершенно им незнакомых людей... У меня так же, как и у Стеллы, очень болела душа, ибо это был первый раз, когда я наяву увидала, как по собственному желанию в вечность ушли смелые и очень добрые люди... мои друзья. И, казалось, в моём раненом детском сердце навсегда поселилась печаль... Но я также уже понимала, что, как бы я ни страдала, и как бы я этого ни желала, ничто не вернёт их обратно... Стелла была права – нельзя было побеждать такой ценой... Но это был их собственный выбор, и отказать им в этом мы не имели никакого права. А попробовать переубедить – у нас просто не хватило на это времени... Но живым приходилось жить, иначе вся эта невосполнимая жертва оказалась бы напрасной. А вот именно этого-то допускать было никак нельзя. – Что будем с делать с ними? – судорожно вздохнув, показала на сбившихся в кучку малышей, Стелла. – Оставлять здесь никак нельзя. Я не успела ответить, как прозвучал спокойный и очень грустный голос: – Я с ними останусь, если вы, конечно, мне позволите. Мы дружно подскочили и обернулись – это говорил спасённый Марией человек... А мы как-то о нём совершенно забыли. – Как вы себя чувствуете? – как можно приветливее спросила я. Я честно не желала зла этому несчастному, спасённому такой дорогой ценой незнакомцу. Это была не его вина, и мы со Стеллой прекрасно это понимали. Но страшная горечь потери пока ещё застилала мне гневом глаза, и, хотя я знала, что по отношению к нему это очень и очень несправедливо, я никак не могла собраться и вытолкнуть из себя эту жуткую боль, оставляя её «на потом», когда буду совсем одна, и, закрывшись «в своём углу», смогу дать волю горьким и очень тяжёлым слезам... А ещё я очень боялась, что незнакомец как-то почувствует моё «неприятие», и таким образом его освобождение потеряет ту важность и красоту победы над злом, во имя которой погибли мои друзья... Поэтому я постаралась из последних сил собраться и, как можно искреннее улыбаясь, ждала ответ на свой вопрос. Мужчина печально осматривался вокруг, видимо не совсем понимая, что же здесь такое произошло, и что вообще происходило всё это время с ним самим... – Ну и где же я?.. – охрипшим от волнения голосом, тихо спросил он. – Что это за место, такое ужасное? Это не похоже на то, что я помню... Кто вы? – Мы – друзья. И вы совершенно правы – это не очень приятное место... А чуть дальше места вообще до дикости страшные. Здесь жил наш друг, он погиб... – Мне жаль, малые. Как погиб ваш друг? – Вы убили его, – грустно прошептала Стелла. Я застыла, уставившись на свою подружку... Это говорила не та, хорошо знакомая мне, «солнечная» Стелла, которая «в обязательном порядке» всех жалела, и никогда бы не заставила никого страдать!.. Но, видимо, боль потери, как и у меня, вызвала у неё неосознанное чувство злости «на всех и вся», и малышка пока ещё не в состоянии была это в себе контролировать. – Я?!.. – воскликнул незнакомец. – Но это не может быть правдой! Я никогда никого не убивал!.. Мы чувствовали, что он говорит чистую правду, и знали, что не имеем права перекладывать на него чужую вину. Поэтому, даже не сговариваясь, мы дружно заулыбались и тут же постарались быстренько объяснить, что же здесь такое по-настоящему произошло. Человек долгое время находился в состоянии абсолютного шока... Видимо, всё услышанное звучало для него дико, и уж никак не совпадало с тем, каким он по-настоящему был, и как относился к такому жуткому, не помещающемуся в нормальные человеческие рамки, злу... – Как же я смогу возместить всё это?!.. Ведь никак не смогу? И как же с этим жить?!.. – он схватился за голову... – Скольких я убил, скажите!.. Кто-нибудь может это сказать? А ваши друзья? Почему они пошли на такое? Ну, почему?!!!.. – Чтобы вы смогли жить, как должны... Как хотели... А не так, как хотелось кому-то... Чтобы убить Зло, которое убивало других. Потому, наверное... – грустно сказала Стелла. – Простите меня, милые... Простите... Если сможете... – человек выглядел совершенно убитым, и меня вдруг «укололо» очень нехорошее предчувствие... – Ну, уж нет! – возмущённо воскликнула я. – Теперь уж вы должны жить! Вы что, хотите всю их жертву свести на «нет»?! Даже и думать не смейте! Вы теперь вместо них будете делать добро! Так будет правильно. А «уходить» – это самое лёгкое. И у вас теперь нет больше такого права. Незнакомец ошалело на меня уставился, видимо никак не ожидая такого бурного всплеска «праведного» возмущения. А потом грустно улыбнулся и тихо произнёс: – Как же ты любила их!.. Кто ты, девочка? У меня сильно запершило в горле и какое-то время я не могла выдавить ни слова. Было очень больно из-за такой тяжёлой потери, и, в то же время, было грустно за этого «неприкаянного» человека, которому будет ох как непросто с эдакой ношей существовать... – Я – Светлана. А это – Стелла. Мы просто гуляем здесь. Навещаем друзей или помогаем кому-то, когда можем. Правда, друзей-то теперь уже не осталось... – Прости меня, Светлана. Хотя наверняка это ничего не изменит, если я каждый раз буду у вас просить прощения... Случилось то, что случилось, и я не могу ничего изменить. Но я могу изменить то, что будет, правда ведь? – человек впился в меня своими синими, как небо, глазами и, улыбнувшись, горестной улыбкой, произнёс: – И ещё... Ты говоришь, я свободен в своём выборе?.. Но получается – не так уж и свободен, милая... Скорее уж это похоже на искупление вины... С чем я согласен, конечно же. Но это ведь ваш выбор, что я обязан жить за ваших друзей. Из-за того, что они отдали за меня жизнь.... Но я об этом не просил, правда ведь?.. Поэтому – это не мой выбор... Я смотрела на него, совершенно ошарашенная, и вместо «гордого возмущения», готового тут же сорваться с моих уст, у меня понемножечку начало появляться понимание того, о чём он говорил... Как бы странно или обидно оно не звучало – но всё это было искренней правдой! Даже если мне это совсем не нравилось...

Оператор Лапласа

Оператор Лапласа определяется выражением

и в декартовой системе координат описывается формулой

Найдем выражение для оператора Лапласа в криволинейной ортогональной системе координат. Для этого запишем градиент и дивергенцию в криволинейной системе координат

Подставляя эти выражения в оператор Лапласа, получим

Пример 1. Найти выражение для оператора Лапласа в цилиндрической системе координат.

Замечание 1. Оператор Лапласа в полярной системе координат определяется формулой

Пример 2. Найти выражение для оператора Лапласа в сферической системе координат.

Решение. Подставляя значения коэффициентов Ламе, получим

Уравнение Лапласа

Уравнением Лапласа называют уравнение вида.

Это уравнение называют уравнением эллиптического типа. Оно часто встречается в задачах, связанных с определением потенциала различных стационарных полей. В частности, задача определения поля температур, электрического потенциала, упругих напряжений и деформаций связана с решением уравнения Лапласа. Отметим, что в математической физике изучают также уравнения гиперболического и параболического типа.

Существует много различных методов решения уравнений эллиптического типа. Среди них можно выделить метод разделения переменных, метод функции источника, теорию потенциала, метод аналитических функций и много других. Рассмотрим несколько простейших задач, не связанных с использованием специальных методов.

Цилиндрическая симметрия. Найдем решение уравнения Лапласа для функции, обладающей цилиндрической симметрией, т.е. не зависящей от полярного угла и переменной z. В этом случае уравнение Лапласа, записанное в цилиндрической системе координат, имеет вид

Частные производные здесь заменены полными. Из этого уравнения следует

где и - произвольные постоянные, которые можно найти из граничных условий.

Сферическая симметрия. Найдем решение уравнения Лапласа для функции, обладающей сферической симметрией, т.е. не зависящей от углов и. В этом случае уравнение Лапласа, записанное в сферической системе координат, имеет вид

Нетрудно найти решение этого уравнения

Решение уравнения Пуассона рассмотрим на конкретных примерах.

Пример 1. Найти решение уравнения Пуассона внутри круга радиуса, если

Решение. Искомая функция обладает цилиндрической симметрией, поэтому запишем уравнение Пуассона в цилиндрической системе координат в виде

Решим это уравнение

градиент криволинейный ламе дифференциальный

Постоянные и найдем из граничного условия и условия ограниченности функции. Учитывая, что, получим. Из условия получим

Следовательно, имеем окончательный ответ

Оператор Лапласа - дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом. Функции F он ставит в соответствие функцию

Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции.

Градиент-- вектор, показывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля). Например, если взять в качестве высоту поверхности Земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма». Величина (модуль) вектора градиента равна скорости роста в этом направлении. Для случая трёхмерного пространства, градиентом называется векторная функция с компонентами, где - некоторая скалярная функция координат x,y,z.

Если - функция n переменных то ее градиентом называется n-мерный вектор

Компоненты которого равны частным производным по всем ее аргументам. Градиент обозначается grad, или с использованием оператора набла,

Из определения градиента следует, что:

Смысл градиента любой скалярной функции f в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения дает полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена f, то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения f при смещении на. Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:

Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат x i, то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку dx -- это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе.

Таким образом, выражение (вообще говоря -- для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:

Или опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,

Дивергенция -- дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть операция дифференцирования, в результате применения которой к векторному полю получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле» (точнее -- насколько расходятся входящий и исходящий поток).

Если учесть, что потоку можно приписать алгебраический знак, то нет необходимости учитывать входящий и исходящий потоки по отдельности, всё будет автоматически учтено при суммировании с учетом знака. Поэтому можно дать более короткое определение дивергенции:

дивергенция -- это дифференциальный оператор на векторном поле, характеризующий поток данного поля через поверхность малой окрестности каждой внутренней точки области определения поля.

Оператор дивергенции, применённый к полю F, обозначают как или

Определение дивергенции выглядит так:

где ФF -- поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объём V. Ещё более общим, а потому удобным в применении, является определение, когда форма области с поверхностью S и объёмом V допускается любой. Единственным требованием является её нахождение внутри сферы радиусом, стремящимся к нулю. Это определение, в отличие от приводимого ниже, не привязано к определённым координатам, например, к декартовым, что может представлять дополнительное удобство в определённых случаях. (Например, если выбирать окрестность в форме куба или параллелепипеда, легко получаются формулы для декартовых координат, приведённые в следующем параграфе).

таким образом значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля gradF в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя.

Материал из Википедии - свободной энциклопедии

Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции : $\backslash Delta=\backslash operatorname\{div\}\backslash ,\backslash operatorname\{grad\}$, таким образом, значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля $\backslash \; \backslash operatorname\{grad\}F$ в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом $\backslash Delta=\backslash nabla\backslash cdot\backslash nabla=\backslash nabla^2$ , то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя. Оператор Лапласа симметричен .

Другое определение оператора Лапласа

Оператор Лапласа является естественным обобщением на функции нескольких переменных обычной второй производной функции одной переменной. В самом деле, если функция $\backslash \; f\; (x)$ имеет в окрестности точки $\backslash \; x\_0$ непрерывную вторую производную $\backslash \; f$(x), то, как это следует из формулы Тейлора

$\backslash \; f(x\_0+r)=f(x\_0)+rf"(x\_0)+\backslash frac\{r^2\}\{2\}f$(x_0)+o(r^2), при $r\backslash to\; 0,$, $\backslash \; f(x\_0-r)=f(x\_0)-rf"(x\_0)+\backslash frac\{r^2\}\{2\}f$(x_0)+o(r^2), при $r\backslash to\; 0,$

вторая производная есть предел

$\backslash \; f$(x_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2}{r^2} \left\{ \frac{f(x_0+r)+f(x_0-r)}{2}-f(x_0) \right\}.

Если, переходя к функции $\backslash \; F$ от $\backslash \; k$ переменных, поступить таким же образом, то есть для заданной точки $M\_0(x\_1^0,x\_2^0,\; ...\; ,x\_k^0)$ рассматривать её $\backslash \; k$ -мерную шаровую окрестность $\backslash \; Q\_r$ радиуса $\backslash \; r$ и разность между средним арифметическим

$\backslash \; \backslash frac\{1\}\{\backslash sigma(S\_r)\}\backslash int\backslash limits\_\{S\_r\}Fd\backslash sigma$

функции $\backslash \; F$ на границе $\backslash \; S\_r$ такой окрестности с площадью границы $\backslash \; \backslash sigma(S\_r)$ и значением $\backslash \; F(M\_0)$ в центре этой окрестности $\backslash \; M\_0$, то в случае непрерывности вторых частных производных функции $\backslash \; F$ в окрестности точки $\backslash \; M\_0$ значение лапласиана $\backslash \; \backslash Delta\; F$ в этой точке есть предел

$\backslash \; \backslash Delta\; F(M\_0)=\backslash lim\backslash limits\_\{r\; \backslash to\; 0\}\; \backslash frac\{2k\}\{r^2\}\; \backslash left\backslash \{\backslash frac\{1\}\{\backslash sigma(S\_r)\}\backslash int\backslash limits\_\{S\_r\}F(M)d\backslash sigma\; -F(M\_0)\; \backslash right\backslash \}.$

Одновременно с предыдущим представлением для оператора Лапласа функции $\backslash \; F$, имеющей непрерывные вторые производные, справедлива формула

$\backslash \; \backslash Delta\; F(M\_0)=\backslash lim\backslash limits\_\{r\; \backslash to\; 0\}\; \backslash frac\{2(k+2)\}\{r^2\}\; \backslash left\backslash \{\backslash frac\{1\}\{\backslash omega(Q\_r)\}\backslash int\backslash limits\_\{Q\_r\}F(M)d\backslash omega\; -F(M\_0)\; \backslash right\backslash \},$ где $\backslash \; \backslash omega(Q\_r)$ - объём окрестности $\backslash \; Q\_r.$

Эта формула выражает непосредственную связь лапласиана функции с её объёмным средним в окрестности данной точки.

Доказательство этих формул можно найти, например, в .

Вышеизложенные пределы, во всех случаях, когда они существуют, могут служить определением оператора Лапласа функции $\backslash \; F.$ Такое определение предпочтительнее обычного определения лапласиана, предполагающего существование вторых производных рассматриваемых функций, и совпадает с обычным определением в случае непрерывности этих производных.

Выражения для оператора Лапласа в различных криволинейных системах координат

В произвольных ортогональных криволинейных координатах в трёхмерном пространстве $q\_1,\backslash \; q\_2,\backslash \; q\_3$:

$\backslash Delta\; f\; (q\_1,\backslash \; q\_2,\backslash \; q\_3)\; =\; \backslash operatorname\{div\}\backslash ,\backslash operatorname\{grad\}\backslash ,f(q\_1,\backslash \; q\_2,\backslash \; q\_3)\; =$ $=\backslash frac\{1\}\{H\_1H\_2H\_3\}\backslash left[\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; q\_1\}\backslash left(\backslash frac\{H\_2H\_3\}\{H\_1\}\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; q\_1\}\; \backslash right)\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; q\_2\}\backslash left(\backslash frac\{H\_1H\_3\}\{H\_2\}\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; q\_2\}\; \backslash right)\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; q\_3\}\backslash left(\backslash frac\{H\_1H\_2\}\{H\_3\}\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; q\_3\}\; \backslash right)\backslash right],$ где $H\_i\backslash$ - коэффициенты Ламе .

Цилиндрические координаты

В цилиндрических координатах вне прямой $\backslash \; r=0$:

$\backslash Delta\; f$

= {1 \over r} {\partial \over \partial r}

\left(r {\partial f \over \partial r} \right)

+ {\partial^2f \over \partial z^2} + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}

Сферические координаты

В сферических координатах вне начала отсчёта (в трёхмерном пространстве):

$\backslash Delta\; f$

= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}

\left(r^2 {\partial f \over \partial r} \right)

+ {1 \over r^2\sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}

$\backslash Delta\; f$

= {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2}

\left(rf \right)

+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}

\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right)

+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}.

В случае если $\backslash \; f=f(r)$ в n -мерном пространстве:

$\backslash Delta\; f\; =\; \{d^2\; f\backslash over\; dr^2\}\; +\; \{n-1\; \backslash over\; r\; \}\; \{df\backslash over\; dr\}.$

Параболические координаты

В параболических координатах (в трёхмерном пространстве) вне начала отсчёта:

\Delta f= \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} \left[ \frac{1}{\sigma} \frac{\partial }{\partial \sigma} \left(\sigma \frac{\partial f}{\partial \sigma} \right) + \frac{1}{\tau} \frac{\partial }{\partial \tau} \left(\tau \frac{\partial f}{\partial \tau} \right)\right] + \frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}

Цилиндрические параболические координаты

В координатах параболического цилиндра вне начала отсчёта:

$\backslash Delta\; F(u,v,z)\; =\; \backslash frac\{1\}\{c^2(u^2+v^2)\}\; \backslash left[\; \backslash frac\{\backslash partial^2\; F\; \}\{\backslash partial\; u^2\}+\; \backslash frac\{\backslash partial^2\; F\; \}\{\backslash partial\; v^2\}\backslash right]\; +\; \backslash frac\{\backslash partial^2\; F\; \}\{\backslash partial\; z^2\}.$

Общие криволинейные координаты и римановы пространства

Пусть на гладком многообразии $X$ задана локальная система координат и $g\_\{ij\}$ - риманов метрический тензор на $X$, то есть метрика имеет вид

$ds^2\; =\backslash sum^n\_\{i,j=1\}g\_\{ij\}\; dx^idx^j$ .

Обозначим через $g^\{ij\}$ элементы матрицы $(g\_\{ij\})^\{-1\}$ и

$g\; =\; \backslash operatorname\{det\}\; g\_\{ij\}\; =\; (\backslash operatorname\{det\}\; g^\{ij\})^\{-1\}$.

Дивергенция векторного поля $F$, заданного координатами $F^i$ (и представляющего дифференциальный оператор первого порядка $\backslash sum\_i\; F^i\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x^i\}$) на многообразии X вычисляется по формуле

$\backslash operatorname\{div\}\; F\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{g\}\}\backslash sum^n\_\{i=1\}\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x^i\}(\backslash sqrt\{g\}F^i)$,

а компоненты градиента функции f - по формуле

$(\backslash nabla\; f)^j\; =\backslash sum^n\_\{i=1\}g^\{ij\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; x^i\}.$

Оператор Лапласа - Бельтрами на $X$:

$\backslash Delta\; f\; =\; \backslash operatorname\{div\}\; (\backslash nabla\; f)=\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{g\}\}\backslash sum^n\_\{i=1\}\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x^i\}\backslash Big(\backslash sqrt\{g\}\; \backslash sum^n\_\{k=1\}g^\{ik\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; x^k\}\backslash Big).$

Значение $\backslash Delta\; f$ является скаляром, то есть не изменяется при преобразовании координат.

Применение

С помощью данного оператора удобно записывать уравнения Лапласа , Пуассона и волновое уравнение . В физике оператор Лапласа применим в электростатике и электродинамике, квантовой механике , во многих уравнениях физики сплошных сред , а также при изучении равновесия мембран, плёнок или поверхностей раздела фаз с поверхностным натяжением (см. Лапласово давление), в стационарных задачах диффузии и теплопроводности, которые сводятся, в непрерывном пределе, к обычным уравнениям Лапласа или Пуассона или к некоторым их обобщениям.

Вариации и обобщения

• Оператор Д’Аламбера - обобщение оператора Лапласа для гиперболических уравнений . Включает в себя вторую производную по времени.
• Векторный оператор Лапласа - обобщение оператора Лапласа на случай векторного аргумента.

См. также

Напишите отзыв о статье "Оператор Лапласа"

Литература

Ссылки

Дифференциальное исчисление Основное Частные виды Дифференциальные операторы (в различных координатах) Первого порядка Второго порядка Высших порядков Связанные темы

Отрывок, характеризующий Оператор Лапласа

Княжна Марья, сидя в гостиной и слушая эти толки и пересуды стариков, ничего не понимала из того, что она слышала; она думала только о том, не замечают ли все гости враждебных отношений ее отца к ней. Она даже не заметила особенного внимания и любезностей, которые ей во всё время этого обеда оказывал Друбецкой, уже третий раз бывший в их доме.
Княжна Марья с рассеянным, вопросительным взглядом обратилась к Пьеру, который последний из гостей, с шляпой в руке и с улыбкой на лице, подошел к ней после того, как князь вышел, и они одни оставались в гостиной.
– Можно еще посидеть? – сказал он, своим толстым телом валясь в кресло подле княжны Марьи.
– Ах да, – сказала она. «Вы ничего не заметили?» сказал ее взгляд.
Пьер находился в приятном, после обеденном состоянии духа. Он глядел перед собою и тихо улыбался.
– Давно вы знаете этого молодого человека, княжна? – сказал он.
– Какого?
– Друбецкого?
– Нет, недавно…
– Что он вам нравится?
– Да, он приятный молодой человек… Отчего вы меня это спрашиваете? – сказала княжна Марья, продолжая думать о своем утреннем разговоре с отцом.
– Оттого, что я сделал наблюдение, – молодой человек обыкновенно из Петербурга приезжает в Москву в отпуск только с целью жениться на богатой невесте.
– Вы сделали это наблюденье! – сказала княжна Марья.
– Да, – продолжал Пьер с улыбкой, – и этот молодой человек теперь себя так держит, что, где есть богатые невесты, – там и он. Я как по книге читаю в нем. Он теперь в нерешительности, кого ему атаковать: вас или mademoiselle Жюли Карагин. Il est tres assidu aupres d"elle. [Он очень к ней внимателен.]
– Он ездит к ним?
– Да, очень часто. И знаете вы новую манеру ухаживать? – с веселой улыбкой сказал Пьер, видимо находясь в том веселом духе добродушной насмешки, за который он так часто в дневнике упрекал себя.
– Нет, – сказала княжна Марья.
– Теперь чтобы понравиться московским девицам – il faut etre melancolique. Et il est tres melancolique aupres de m lle Карагин, [надо быть меланхоличным. И он очень меланхоличен с m elle Карагин,] – сказал Пьер.
– Vraiment? [Право?] – сказала княжна Марья, глядя в доброе лицо Пьера и не переставая думать о своем горе. – «Мне бы легче было, думала она, ежели бы я решилась поверить кому нибудь всё, что я чувствую. И я бы желала именно Пьеру сказать всё. Он так добр и благороден. Мне бы легче стало. Он мне подал бы совет!»
– Пошли бы вы за него замуж? – спросил Пьер.
– Ах, Боже мой, граф, есть такие минуты, что я пошла бы за всякого, – вдруг неожиданно для самой себя, со слезами в голосе, сказала княжна Марья. – Ах, как тяжело бывает любить человека близкого и чувствовать, что… ничего (продолжала она дрожащим голосом), не можешь для него сделать кроме горя, когда знаешь, что не можешь этого переменить. Тогда одно – уйти, а куда мне уйти?…
– Что вы, что с вами, княжна?
Но княжна, не договорив, заплакала.
– Я не знаю, что со мной нынче. Не слушайте меня, забудьте, что я вам сказала.
Вся веселость Пьера исчезла. Он озабоченно расспрашивал княжну, просил ее высказать всё, поверить ему свое горе; но она только повторила, что просит его забыть то, что она сказала, что она не помнит, что она сказала, и что у нее нет горя, кроме того, которое он знает – горя о том, что женитьба князя Андрея угрожает поссорить отца с сыном.
– Слышали ли вы про Ростовых? – спросила она, чтобы переменить разговор. – Мне говорили, что они скоро будут. Andre я тоже жду каждый день. Я бы желала, чтоб они увиделись здесь.
– А как он смотрит теперь на это дело? – спросил Пьер, под он разумея старого князя. Княжна Марья покачала головой.
– Но что же делать? До года остается только несколько месяцев. И это не может быть. Я бы только желала избавить брата от первых минут. Я желала бы, чтобы они скорее приехали. Я надеюсь сойтись с нею. Вы их давно знаете, – сказала княжна Марья, – скажите мне, положа руку на сердце, всю истинную правду, что это за девушка и как вы находите ее? Но всю правду; потому что, вы понимаете, Андрей так много рискует, делая это против воли отца, что я бы желала знать…
Неясный инстинкт сказал Пьеру, что в этих оговорках и повторяемых просьбах сказать всю правду, выражалось недоброжелательство княжны Марьи к своей будущей невестке, что ей хотелось, чтобы Пьер не одобрил выбора князя Андрея; но Пьер сказал то, что он скорее чувствовал, чем думал.
– Я не знаю, как отвечать на ваш вопрос, – сказал он, покраснев, сам не зная от чего. – Я решительно не знаю, что это за девушка; я никак не могу анализировать ее. Она обворожительна. А отчего, я не знаю: вот всё, что можно про нее сказать. – Княжна Марья вздохнула и выражение ее лица сказало: «Да, я этого ожидала и боялась».
– Умна она? – спросила княжна Марья. Пьер задумался.
– Я думаю нет, – сказал он, – а впрочем да. Она не удостоивает быть умной… Да нет, она обворожительна, и больше ничего. – Княжна Марья опять неодобрительно покачала головой.
– Ах, я так желаю любить ее! Вы ей это скажите, ежели увидите ее прежде меня.
– Я слышал, что они на днях будут, – сказал Пьер.
Княжна Марья сообщила Пьеру свой план о том, как она, только что приедут Ростовы, сблизится с будущей невесткой и постарается приучить к ней старого князя.

Женитьба на богатой невесте в Петербурге не удалась Борису и он с этой же целью приехал в Москву. В Москве Борис находился в нерешительности между двумя самыми богатыми невестами – Жюли и княжной Марьей. Хотя княжна Марья, несмотря на свою некрасивость, и казалась ему привлекательнее Жюли, ему почему то неловко было ухаживать за Болконской. В последнее свое свиданье с ней, в именины старого князя, на все его попытки заговорить с ней о чувствах, она отвечала ему невпопад и очевидно не слушала его.
Жюли, напротив, хотя и особенным, одной ей свойственным способом, но охотно принимала его ухаживанье.
Жюли было 27 лет. После смерти своих братьев, она стала очень богата. Она была теперь совершенно некрасива; но думала, что она не только так же хороша, но еще гораздо больше привлекательна, чем была прежде. В этом заблуждении поддерживало ее то, что во первых она стала очень богатой невестой, а во вторых то, что чем старее она становилась, тем она была безопаснее для мужчин, тем свободнее было мужчинам обращаться с нею и, не принимая на себя никаких обязательств, пользоваться ее ужинами, вечерами и оживленным обществом, собиравшимся у нее. Мужчина, который десять лет назад побоялся бы ездить каждый день в дом, где была 17 ти летняя барышня, чтобы не компрометировать ее и не связать себя, теперь ездил к ней смело каждый день и обращался с ней не как с барышней невестой, а как с знакомой, не имеющей пола.
Дом Карагиных был в эту зиму в Москве самым приятным и гостеприимным домом. Кроме званых вечеров и обедов, каждый день у Карагиных собиралось большое общество, в особенности мужчин, ужинающих в 12 м часу ночи и засиживающихся до 3 го часу. Не было бала, гулянья, театра, который бы пропускала Жюли. Туалеты ее были всегда самые модные. Но, несмотря на это, Жюли казалась разочарована во всем, говорила всякому, что она не верит ни в дружбу, ни в любовь, ни в какие радости жизни, и ожидает успокоения только там. Она усвоила себе тон девушки, понесшей великое разочарованье, девушки, как будто потерявшей любимого человека или жестоко обманутой им. Хотя ничего подобного с ней не случилось, на нее смотрели, как на такую, и сама она даже верила, что она много пострадала в жизни. Эта меланхолия, не мешавшая ей веселиться, не мешала бывавшим у нее молодым людям приятно проводить время. Каждый гость, приезжая к ним, отдавал свой долг меланхолическому настроению хозяйки и потом занимался и светскими разговорами, и танцами, и умственными играми, и турнирами буриме, которые были в моде у Карагиных. Только некоторые молодые люди, в числе которых был и Борис, более углублялись в меланхолическое настроение Жюли, и с этими молодыми людьми она имела более продолжительные и уединенные разговоры о тщете всего мирского, и им открывала свои альбомы, исписанные грустными изображениями, изречениями и стихами.

Устройства